Question

求助：数学函数极限问题

试用ξ-σ的说法证明 当x--2时，x的平方---4
那为什么不令|x-2|< 2?或者3呢，而且这样求出来以后的δ都不一样啊，带入同一个ε却取得不同的δ值

Answer 1

你对极限基本定义的理解还不够深入，从数列到函数极限，注意定义中的N或δ都是【存在性】的说明，但N或δ绝不唯一，任意N'>N 或0<δ’<δ都可满足使不等式成立条件，不然不等式是怎么放缩的呢？

证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |x^2-4| < ε 成立，
令： |x-2|< 1 ，则：|x+2|=|4+(x-2)|≤ 4+|x-2|<5；
此时只要：|x^2-4|=|x+2|*|x-2|< 5*|x-2|<ε，
即只要：|x-2| < min{ 1,ε/5} 即可 ；

② 故存在 δ = min{ 1,ε/5} > 0 ,

③ 当 |x-2|<δ 时，

④ 恒有： |x^2-4| < ε 成立。

∴ lim(x->2) x^2 = 4