Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）是否存在时刻t，使得PD‖AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
请给我具体详细的解题过程,谢谢

Answer 1

(1)PC=12-3t CQ=4t

S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t² 0<=t<=4

SPCQD=48t-12t² 0<=t<=4

(2)存在，t=12/11。

设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。

∵△APF∽△ABC

∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5

PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t

△PDQ≌△PCQ，DEFP为矩形

QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t

∵△QBE∽△ABC

∴QE/QB=AC/AB

即6.4t/（16-4t）=3/5

t=12/11

(3)存在，t=36/13，2＜t≤3。

设在时刻t，PD⊥AB，延长PD交AB于F，过Q作QE⊥AB（如图2，下面只给出计算，证明过程略）。

同<1>PF=2.4t

∵△QBE∽△ABC

∴QE/QB=AC/AB

即QE=QB*AC/AB=（16-4t）*3/5

△PDQ≌△PCQ，DFEP为矩形

PD=PC=（12-3t）

DF=QE=（16-4t）*3/5

PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t）+（16-4t）*3/5=2.4t

t=36/13。

Answer 2

（1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，

∴S△PCQ =．

∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，

∴y=2S△PCQ ．

（2）当时，有PQ‖AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，

∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，

∴ ，解得t＝2．

∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形

(3)不存在

Answer 3

解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S△PCQ=12PC•CQ=-6t2+24t
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；

（2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，△PCQ∽△ACB，
则CPCA=CQCB，即12-3t12=4t16，
解得：t=2；
故t为2秒时，四边形PQBA是梯形；
（3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
从而 QMAB=QDAC，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=122+162=20，
∴QM=203t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴CPCA=CMCB，即 12-3t12=4t+
203t16，
解得t=1211（3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
从而 QMAB=QDAC，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=122+162=20，
∴QM=203t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴CPCA=CMCB，即 12-3t12=4t+
203t16，
解得t=1211