Question

如何求一个数列的通项公式

Answer 1

求数列通项公式的基本方法：
累加法
递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和
例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式
解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)
累乘法
递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积
例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an
解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)
构造法
将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列
适当的进行运算变形
例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an
解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an
∴{ln an}是等比数列，q=2，首项为ln3
∴ln an =(2^(n-1))ln3
故an=3^[2^(n-1)]
倒数变换法(适用于a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)
例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)
解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2
∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2
∴an=1/(2n-1)
待定系数法
A.递推式为a(n+1)=pan+q(p，q为常数)，可以构造递推数列{an+x}为 以p为公比的等比数列，
即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把设定的式子拆开，等于原子)
例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an
解：a(n+1)+2=3(an+2)
∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3
∴an=3^n-2
B.递推公式为a(n+1)=pan+q^n(p，q是常数)
常规变形，将两边同时除以q^(n+1),
得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q
再令bn=an/q^n,
可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)
之后就用上面A中提到的方法来解决
C.递推公式为a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常数)
可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1
解出x1和x2，可以得到两个式子
a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))
a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))
然后，两式子相减，左边可以得出kan来(k为系数)
右边就用等比数列的方法得出来
例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an
解：x^2=2x/3=1/3
x1=1,x2=-1/3
可以得到方程组
a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))
a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)
解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)
D.递推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常数)
可以变形为a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)
然后和原式子比较，可以得出x，y，
即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列
例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)
解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]
∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6
∴an=2×3^n-n-1
特征根法
递推式为a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) (A，B，C，D是常数)
令a(n+1)=an=x,原式则为x=(Ax+B)/(Cx+D)
(1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列
例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求an
解：x=(2x-1)/(4x+6)
解得x0=-1/2
1/(an+1/2)=1/[(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2]=1/[a(n-1)+1/2] +1
∴{1/(an+1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5
∴an=5/(5n-3) -1/2
(2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列(x1,x2的位置没有顺序，可以调换)
例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)
解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [a(n-1)-1]/[a(n-1)+1]
则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3
∴an=[1+(-1)^(n-1) (1/3)^n]/[1-(-1)^(n-1) (1/3)^n]
(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列
例：{an}中，a1=2,满足a(n+1)=(an-1)/an(n≥2)
解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 ……
所以an=2(n MOD 3=1)，1/2(n MOD3=1)，-1(nMOD3=0)
(准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示)
连加相减，连乘相除
例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an=3(n+1)
通项公式：按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a n 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

Answer 2

有以下四种基本方法：
（ 1 ）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出．
（ 2 ）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n项a n 的表达式即通项公式．
（ 3 ）待定系数法．求通项公式的问题，就是当n＝ 1 ， 2 ， … 时求f（n），使f（n）依次等于a 1 ，a 2 ， … 的问题．因此我们可以先设出第n项a n 关于变数n的表达式，再分别令n＝ 1 ， 2 ， … ，并取a n 分别等于a 1 ，a 2 ， … ，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式．
（ 4 ）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式．

Answer 3

数列的通项公式

Answer 4

求一个数的这个有一定固定的公司啊，你套用一下公司就可以了。