Question

2012 孝感 数学 已知关于x的二元一次方程x的平方加（m+3）x+m+1＝0

Answer 1

（2012•孝感）已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：

（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁﹣x₂|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．

（1）证明：∵△=（m+3）²﹣4（m+1）

=（m+1）²+4

∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0

∴原方程总有两个不相等的实数根

（2）∵x₁，x₂是原方程的两根

∴x₁+x₂=﹣（m+3），x₁•x₂=m+1

∵|x₁﹣x₂|=2∴（x₁﹣x₂）²=（2）²∴（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=8

∴[﹣（m+3）]²﹣4（m+1）=8∴m²+2m﹣3=0

   解得：m₁=﹣3，m₂=1

   当m=﹣3时，原方程化为：x²﹣2=0

             解得：x₁=√2，x₂=﹣√2

   当m=1时，原方程化为：x²+4x+2=0

             解得：x₁=﹣2+√2，x₂=﹣2﹣√2