Question

一道高中三角函数题的思路

已知Asina+Bsinb+Csinc=0，Acosa+Bcosb+Ccosc=0，其中A，B，C不等于零，求证A分之sin(b-c)等于B分之sin(c-a)等于C分之sin(a-b)说思路即可

Answer 1

由asinA+bsinB+csinC=0,acosA+bcosB+ccosC=0
得到：asinA+bsinB＝－csinC,acosA+bcosB＝－ccosC
将上面两个式子平方：
a^2(sinA)^2+2absinAsinB+b^2(sinB)^2=c^2(sinC)^2
a^2(cosA)^2+2abcosAcosB+b^2(cosB)^2=c^2(cosC)^2
将上面两个式子相加，结合(sinA)^2＋(cosA)^2＝1
得到：
a^2+2ab(sinAsinB+cosAcosB)+b^2=c^2
所以a^2＋b^2+2abcos(A-B)=c^2
同理可得到：
b^2＋c^2+2bccos(B-C)=a^2
a^2＋c^2+2accos(A-C)=b^2

由余弦定理逆定理（注意必须是有上述三个轮换式子！！！）
a、b、c组成一个三角形，其对角分别为(B-C)、(A-C)、(A-B)
因此由正弦定理，a/sin(B-C)=b/sin(C-A)=c/sin(A-B)
证毕

希望这个证明能给你帮助^_^