Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值和极小值的差

Answer 1

有极值的意思，就是此处的导数值为0，切线平行于直线，也就是说其导数值等于直线的斜率。这就可以列两个方程：
函数f的导数为3x^2+2ax+b,
f'(2)=12+4a+b=0
f'(1)=3+2a+b=-3
可以解出a=-3,b=0,所以f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2),
令f'=0,可解出两个极值点x=0,x=2;
x<0,f'>0;0<x<2,f'<0;x>2,f'>0;
故x=0为极大值点，x=2为极小值点。
因此这里要的答案便是
f(0)-f(2)=4

Answer 2

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值和极小值的差

f'(x)=3x²+2ax+b
f'(2)=12+4a+b=0
f'(1)=3+a+b=-3
a=-3,b=0

f(x)=x³-3x²+c
f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)

x<0:f'(x)>0,f(x)增函数
0≤x≤2:f'(x)<0,f(x)减函数
x>2:f'(x)>0,f(x)增函数

f(x)在x=0处取得极大值：f(0)=c
f(x)在x=2处取得极小值：f(2)=-4+c

f(0)-f(2)=4