Question

设各项均为正数的数列An的前N项和为Sn，对于任意的正整数n,都有下面的等式成立

S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+……+Sn/(an+2)=1/4Sn
Sn=1/4an^2+1/2an
1。证明{an}是等差数列
2。若对于任意的正整数n，不等式1/s1+1/s2+……1/sn＞k恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

1）a1=s1 a1=1/4 a1²+1/2a1
可得a1=2
当n>=2时
an=Sn-S(n-1)=1/4(an^2-a(n-1)^2)+1/2an-1/2a(n-1)
整理得（an-a(n-1)）(an+a(n-1))=2(an+a(n-1))
因为an是正数数列。an+a(n-1)≠0
所以an-a（n-1）=2 （等差数列）
所以an=2n
an是公差是2的等差数列
2）
Sn=1/4an^2+1/2an
=n²+n
1/sn=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以
1/s1+1/s2+……1/sn
=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)
=n/(n+1)
显然n/(n+1) 随着n的增大而增大
当n=1时最小是1/2
所以k<1/2

Answer 2

（1）s1/a1+2=s1/4，s1=a1，得a1=2
（2）
Sn=4（S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+S3/(a13+2)+...+Sn/(an+2)
S(n-1）=4（S1/(a1+2)+S2/(a2+2)+S3/(a13+2)+...+S（n-1）/(a（n-1)+2)
Sn-S(n-1)=4（Sn/（an+2））
Sn/（an+2）=an/4
∴Sn=an²/4+an/2