Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)·f(y)，当x>0时，有0<f(x)<1.

⑴求证：f(0)=1,且当x<0时，f(x)>1
⑵证明：f(x)在R上单调递减

Answer 1

（1）令x=0，y=0，所以有f(0)=f^2(0),f(0)[f(0)-1]=0,所以有
f(0)=0或f(0)=1.当f(0)=0,对于x>0,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时，有0<f(x)<1题意不符，所以f(0)=0舍去，于是有f（0）=1
（2）对于任意的x<0,有-x>0,所以0<f(-x)<1,又因为
f(x)*f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1,所以f(x)>1
（3）对于任意的x1<x2属于R，令x2=x1+x0,其中x0>0,
f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1]
由于x0>0，所以0<f(x0)<1，有f(x0)-1<0,又f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)<0
所以函数f（x）是减函数