Question

设函数f(x)=x-alnx+b/x在x=1处取得极值

求函数f(x)的单调区间

Answer 1

　　类似这样已知函数f(x)在x=x₀处取得极值，考核费马引理这个知识点：可导函数极值点处导函数值为0。
　　导函数值为0的点称为驻点，需要注意的是，驻点为极值点的必要条件。也就是说，有些驻点可以不是极值点，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值点，并进一步区分极大值和极小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则需用更高阶导数来判断：三阶导数为零，四阶导数亦为零，不是驻点；三阶导数为零，四阶导数不为零，是驻点，以此类推。
　　故解题过程可以化为解方程的问题：
　　f(x)=x-alnx+b/x,定义域x>0
　　f'(x)=1-a/x-b/x²
　　f'(1)=1-a-b=0
　　b=1-a
　　∴f'(x)=1-a/x+(a-1)/x²=(x²-ax+a-1)/x²
　　f'(x)=0→x²-ax+a-1=0
　　x=（a±|a-2|)/2
　　另一驻点x₂=a-1
　　f''(x)=a/x²+2b/x³=a/x²+2(1-a)/x³
　　f''(1)=a+2-2a=2-a
　　f''(a-1)=a/(a-1)²-2(a-1)/(a-1)³=[(a-2)(a-1)]/(a-1)³
① a>2时，a-1>1=x₁，x₂在x₁的右侧
　　f''(1)<0,f(1)是极大值，左增右减
　　f''(a-1)>0,f(a-1)是极小值，左减右增
　　∴单调递增区间：(0,1)∪(a-1,+∞)
　　单调递减区间：(1,a-1)
② a<2时，a-1<1,x₂在x₁的左侧，由定义域a-1>0→a>1
　　即1<a<2时：
　　f''(1)>0,f(1)是极小值，左减右增
　　f''(a-1)<0,f(a-1)是极大值，左增右减
　　∴单调递增区间：(0,a-1)∪(1,+∞)
　　单调递减区间：(a-1,1)
③ a=2
　　a-1=1,两个驻点重合,即仅有一个驻点x₁=1
　　f''(1)=a+2-2a=2-a=0，不是极值点。
　　f'(x)=1-a/x+(a-1)/x²=(x-1)²/x²≥0
　　∴全定义域单调递增，即单调递增区间：(0,+∞)

Answer 2

1)∵f(x)=x-alnx+b/x ∴f‘(x)=1-a/x-b/x^2
又∵f(x)在x=a处取得极值 ∴有f'(1)=1-a-b=0
经检验，此时x=1为f(x)的极值点
∴a、b关系为a+b=1
2)f'(x)=(x^2-ax+a-1)/x^2
令f'(x)=0 得x^2-ax+a-1=0 [x-(a-1)](x-1)=0
x1=a-1 x2=1 ∵a>1 ∴x1>0
①当1<a<2时 x1<x2
此时f(x)在(0,a-1)和(1,＋∞)上单增
在(a-1,1)上单减
②当a=2时 x1=x2
此时f(x)在(0,＋∞)上单增
③当a>2时 x1>x2
此时f(x)在(0,1)和(a-1,＋∞)上单增
在(1,a-1)上单减