Question

高等数学。这个f(x)是个抽象函数，没有表达式只说了在点a处可导。 图片中求极限求导时把它拆开了。

高等数学。这个f(x)是个抽象函数，没有表达式只说了在点a处可导。 图片中求极限求导时把它拆开了。不是说抽象函数不能拆吗？这里为什么拆了。什么时候可拆？

Answer 1

抽象函数可以拆啊，任何函数都可以拆，只不过要看有没有拆的必要。而且拆开之后，极限或者导数不一定存在

追问

那我这题可不可以拆。求导数时的极限的？

那我这题可不可以拆，是求导数时的极限？

只要极限存在就可以拆是吧。？

追答

可以把题目再照张照片吗，我怎么看上面的图片好像有两题似的。上面说x=a处可导，底下怎么冒出来个x=0那点？

追问

第一问就行。麻烦你了

追答

第一问分明是x=0那点，没有提到x=a。
还是那句话，在任一点都可以拆，
第一，得看有没有必要拆。比如题目问你x=1点处的情况，你就没有必要讨论x=0处是什么样的。
第二，拆开不代表极限就存在。一个函数在某一点拆开，左右极限存在就是存在，不存在就不存在。
第三，导数存在，拆开之后左右导数必然存在且相等，这是导数的重要性质。同样函数在某一点极限存在，那么拆开之后左右极限必然相等。
第四，就拿极限来说，如果拆开之后，左极限不等于右极限，或者其中某个极限不存在，那么函数在这点的极限就不存在。所以有些求极限的题目还必须拆开才能知道极限存在与否。比如e^(1/x)当x->0的极限，就要分布讨论左右极限。

追问

我有点懂了。这道题是因为f(x)可导连续，题也告诉了0处可导，左右导数存在。所以可以拆开。
那如果抛开这道题，给你一个未知的f(x)的表达式让你求极限，这个时候还能拆吗？

追答

还是可以拆。就比如求f(x)在x->0的极限，你可以分别求左右极限，如果都存在且等于A，那么原极限就是A。但是正如前所述，有时候没必要拆，直接求x->0的极限就行。比如f(x)=x,x->0直接把0代入就行了，如果非要分别求左右极限，也一定求得出来的。
还是那句话，想拆都可以拆，关键看是否有必要，是否对解题有帮助。