Question

已知函数f(x)=e^x(1)证明当0≤1 e^x≤1/1-x;(2)若函数h(x)=l1-f(-x)l+af(x)-3(a＞0

已知函数f(x)=e^x(1)证明当0≤1 e^x≤1/1-x;(2)若函数h(x)=l1-f(-x)l+af(x)-3(a＞0是常数在区间（-ln3.ln3）上有零点，求a的取值范围

Answer 1

(1)令g(x)=1/(1-x)-f(x)
g'(x)=1/(1-x)²-e^x=[e^x-(1-x)²]/(1-x)²·e^x
分母恒大于0
令h(x)=e^x-(1-x)²
h'(x)=e^x-2x+2
h''(x)=e^x-2
h'(x)驻点：x=ln2
h'''(x)=e^x>0
∴h'(ln2)=4-2ln2>0

h'(x)>0,h(x)单调递增，h(x)≥h(0)=0
∴0<x<1,g'(x)>0
g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0→e^x<1/(1-x)
x=0时，e^x=1=1/(1-x)
∴0≤x<1时，e^x≤1/1-x
(2)h(x)=l1-f(-x)l+af(x)-3

f(-x)=e^(-x)
f'(-x)=-e^(x)<0
f'(-x)单调递减 x∈(-ln3,ln3) f(-x):3→1/3
∴h(x)=e^(-x)+ae^x-4 -ln3<x≤0 ①
h(x)=ae^x-e^(-x)-2 0≤x<ln3 ②
h(0)=a-3,h(-ln3)=a/3-1,h(ln3)=3a-7/3
h①'=ae^x-e^(-x),如存在驻点x=-1/2lna
则：-ln3<-ln√a≤0
1≤a<9
h①''=ae^x+e^(-x)>0
∴h①(-1/2lna)=2√a-4是极小值点
a>2,极小值>0,无零点
a≤2，极小值<0,有零点，h(0)=a-3,h(-ln3)=a/3-1中有一个≥0→a≥3
∴无解
a<1时，无驻点h①'=ae^x-e^(-x)<0,h①单调递减
有零点a/3-1>0，a-3≤0,无解
a>9时，无驻点h①'=ae^x-e^(-x)>0,h①单调递增
有零点a/3-1<0，a-3≥0,无解
∴①无零点
h②'=ae^x+e^(-x)
a≥0时h②'>0,h②单调递增,有零点：
a-3≤0→a≤3,
3a-7/3>0→a>7/9
7/9<a≤3
a<0,驻点：x=-1/2ln(-a)
-1≤a≤-1/9
h②''=ae^x-e^(-x)
h②''(-1/2ln(-a))=-2√-a<0.
h②(1/2ln(-a))=-2√-a-2是极大值<0,无零点
-1/9<a<0,时，h②'>0,h②单调递增
h(0)=a-3≤0,h(ln3)=3a-7/3>0
7/9<a≤3
a<-1,时，h②'<0,h②单调递减
h(0)=a-3≥0,h(ln3)=3a-7/3<0,无解
综上，a的取值范围：7/9<a≤3