Question

高二直线的方程 高手来

对于函数f(x)=ax²+（b+1)x+b-2(a≠0），若存在实数x1,使f(x1)=x1成立，则称x1为f(x)的不动点。
1.当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点。
2.若对于任何实数b,函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围。
3.在（2）的条件下，若y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线
y=kx+1/2a²+1是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围。

Answer 1

1.f(x)=2x²-x-4
2x²-x-4=x
x²-x-2=0
(x-1/2)²=9/4
x=2或-1
2.f(x)=ax²+（b+1)x+b-2=x
ax²+bx+b-2=0
△=b²-4a(b-2)>0
4a(b-2)<b²
当b>2时，a<b²/4(b-2)
当b<2时，a>b²/4(b-2)
3.∵f(x1)=x1
∴Ax=Ay,Bx=By
AB的连线斜率为1
∴k=-1
根据求根公式
Ax=Ay=(-b+根号[b^2-4a(b-2)])/2a
Bx=By=(-b-根号[b^2-4a(b-2)])/2a
AB中点为(-b/a,-b/a)
-b/a=b/a+1/2a²+1
2b/a+1/2a²+1=0
2ab+1/2+a²=0
(a+b)²=b²-1/2
a=根号(b²-1/2)-b或-根号(b²-1/2)-b
再代入讨论