Question

一道关于集合问题的数学题。

某校决定从该校一个人数为50的办理抽取学生去宣传知识。设学生编号为：1，2，3……50 组成集合A抽到学生的编号组成的集合S 是A的子集。
规定：S中任意两元素之和都不能被7整除，则S中元素最多有几个？

Answer 1

把1到50进行分类，分成被7除余1、2、3、4、5、6和整除7类，余1的有{1，8，15，22，29，36，43，50}余1的有8个，其它都是7个。依次分类之后，由题意有余1的元素和余6的元素不能同时存在，同理，余2和余5的不能同时存在，余3和余4的不能同时存在，能整除的至多只能存在一个元素，所以最多为余1的8个，余2或5选一类，余3或4选一类，整除选一个，一共是23个

Answer 2

(1 2 3)(4 5 6 )7(8 9 10)(11 12 13)14(15 16 17 )(18 19 20)21( 22 23 24)( 25 26 27) 28( 29 30 31 )(32 33 34) 35( 36 37 38)( 39 40 41) 42 (43 44 45 )(46 47 48) 49 50首先将七的倍数选出来,之剑的间隔就会有六个数,这六个数之和都会有可能是七.之后来选择,要么都选第一个括号里的,要么都选第二个里的.这样就会有21个.再在剩余的7的倍数中选出一个,剩下的就只有50这个数了.50+6=56，故选括号里的只能是括号一里的.
一共有23个.
1 2 3 7 8 9 10 15 16 17 22 23 24 29 30 31 36 37 38 43 44 45 50

Answer 3

把1到50可以分成被7除余1、2、3、4、5、6和整除7类，余1的有{1，8，15，22，29，36，43，50}有8个，其它都是7个。
由题意得到：余1的元素和余6的元素不能同时存在，同理，余2和余5的不能同时存在，余3和余4的不能同时存在，能整除的至多只能存在一个元素，所以最多为余1的8个，余2或5选一类，余3或4选一类，整除选一个，一共是8+7+7+1=23个

Answer 4

把1，2,3，……50每7个数一组可分为：
{1，2,3,4,5,6,7} ｛8,9,10,11,12,13,14｝
………{43,44,45,46,47,48,49,} 50
可以发现1＋6，2＋5,3＋4,8＋13，9＋12，
10＋11，………43＋48,44＋47,45＋46都能被7整除，所以这21对数在集合S中，只能都
取前一个数或都取后一个数，即（1,2,3
8,9,10……43,44,45）或（4,5,6，11,12,13
……46,47,48)，在集合S中7的倍数只能有
一个，再加上50这个数，集合S中最多只
能有23个数。