Question

高一数学集合与命题的问题[急]

1.已知ab=2（m+n），求证方程x²+ax+m=0和x²+bx+n=0中至少有一个方程有实数根。
2.已知两个二次方程x²-abx+a+b=0，x²-(a+b)x+ab=0，其中a>2，b>2.求证：这两个方程没有公共根。
3.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，对X⊆ A，定义S(X)为这个自子集X中所有元素的和，求全体S(X)的总和。
谢谢！

Answer 1

1.假设都没有实数根，Δ1<0,Δ2<0；这样可以得出 a^2<4m,b^2<4n
相加得 a^2+b^2<4(m+n)=2ab,即（a-b)^2<0 错误，则至少有一个方程
有实数根；
2.假设有公共根t，则代入两式并相减 得（a+b-ab)(t+1)=0
显然 t≠-1，因为将t=-1代入 的 a+b+ab+1=0即（a+1)(b+1)=0 不可能
又题目说是 两个方程，则 a+b-ab≠0，所以 （a+b-ab)(t+1)=0 无解
则 没有公共解；
3.有1的集合共有2^5个，2……6同理；所以，S(X)的总和=21*32=672；
这是我的个人看法，由于能力有限，仅供参考。