Question

高分大讨论：如何正确理解对频域的分析？如何透彻理解傅里叶变换？

高手们可以各抒己见！纯粹知识的讨论，打酱油者免进！！
谈谈你们对频域的理解，为何要引入频域？
傅里叶 变换的目的，意义，应用？
傅里叶级数与傅里叶变换的区别和联系？
各种变换的意义，区别，联系？
快速傅里叶变换的实质？
fft的应用？ （只谈理解，不要抄定义，抄公式，当然也可以谈对公式的理解等）毕竟它也不是套公式做题目！没意义。。。。望高手们积极讨论！！！

Answer 1

这个问题其实在书本上面都有说吧,只是说的比较散~
从当前来看,傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例.

在工程方面
把时域变换到频域主要是应用于解高阶微分方程.因此拉普拉斯变换在工程方面应用很广泛,是一个很重要的工具.
高阶微分方程经过变换可以变成高宏历首阶方程,然后就可以很容易解出传递函数,再反变换就可以得到时域的传递函数了.(应该记得那个经典的拉普拉斯算子s吧)

在信号方面
变换到频域,是为了能够从另外一个面去观察和了解信号的实质.因为频率对一个信号来说物理意义是很大的,并不是单纯一个无意义的变换关系.
像采样定理,调频调幅等等的,都是基于频域上面的分析其可行性的推倒出来的

傅里叶级数,顾名思义,是一个无穷级数,像泰勒级数,是对一个多项式的展开
傅里叶变换是一种时域和频域之间的变换,是一种对应关系.就像函数的一一对应关系.

但是傅里叶级数和傅里叶变换也是存在联系的.
傅里叶级数的系数中包含着频谱的信息,该系数直接对应着某频率的幅值,是个真实谱.

而傅里叶变换出来的多项式的值就是频谱系数,而且是连续的.但只是和对应的频率的大小存在一种对应关系,并不是真实的值.
具体分析如下:
傅里叶级数在其基波频率 w0 取得无穷小之后,求和就可以写成积分的形式.这个时候,除掉那个复指数e,不就剩下X(jw)dw了嘛(当然还有一个1/2pi(pi是圆周率))
然后1/(2pi/dw)=1/T,所以X(jw)=a*T啦.你看看X(jw)的定义是不是这样

换句话说,其实X(jw)的值就是x(t)的傅里叶级数中频率为w的那一项的傅里叶系数再乘以周期T.(记住这里是基波频率无穷小哦,也就是要求周期无穷大,也就是非周期信号)
也就是傅里叶变换得出的X(jw)只是x(t)的傅里叶级数中的一个系数项而已.

当然这样傅里叶级数取极限推导出来的傅里叶变换对周期信号一样能够适用,不过这样的X(jw)就是一些离散的冲激串了,这里就不多说了.

当然为什么这样定义一个变换和建立一个这样的关系,要从数学和物理两方面来讲,比较多,详细的只能自己去看书了.不过蔽数我还是在这里简单说说吧,在一个线性系统中,x(t)经过一个那样的算式积分(傅里叶变换)后,就可以消掉变量t,而且结果是一个有理多项式,非常易于计算.而至于非线性系统就比较复杂了,这里就不做讨论了

FFT其实就是烂链应用于计算机上面,是一种计算离散傅里叶变换的快速办法.(计算机内部所有数据都是离散的,因为都是1和0组成).应用当然就是进行傅里叶变换啦.

回头看了一下,楼上的见解有自己的想法.不过似乎有许多地方不正确哦.你还是认真看一下我的见解,虽然我写得长了点和杂乱点,不过还是通俗易懂的.

倒..修改后我反而变到楼下了,再改

Answer 2

您对于傅里叶变换恐怕并不十分理解

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率陆告论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的

所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度

对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示

已经说过，傅里叶变早颂明换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。

傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

我的语言可樱唯能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。