Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a不=0）满足条件f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根，

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a不=0）满足条件f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根，
求f（x）的解析式

Answer 1

∵f(x)=ax²+bx,f(x-1)=f(3-x)
∴对称轴为x=1
即-b/2a=1, b=-2a
又∵f（x）=2x有等根，即ax²+bx-2x=0
⊿=(b-2)²=0 ∴b=2 ,a=-1
函数解析式为f(x)=-x²+2x

Answer 2

解：
∵f(x-1)=f(3-x)
∴a(x-1)²+b(x-1)=a(3-x)²+b(3-x)对任意x恒成立
整理即2(x-2)(2a+b)=0对任意x恒成立
∴2a+b=0
f(x)=2x有等根即ax²+bx=2x有等根
整理即ax²+(b-2)x=0有等根
Δ=(b-2)²-4a·0=0
得b=2，∴a=-1
∴f(x)=-x²+2x