Question

已知函数f(x)的定义域为r,且f(x+y)=f(x)×f(y)对任意的实数X,Y都成立,若f(1)=2,试求

1.f(2)，f(3)的值
2.f(2）／f(1）+f(3）／f(2）+f(4）／f(3）+……f(2009）／f(2008）的值

Answer 1

解：依题意得：
1.
f（2）=f（1+1）=f（1）*f（1）=2*2=4
f（3）=f（2+1）=f（2）*f（1）=4*2=8
2.
因扮激弊为对于任铅毕意的x∈r，有f（x+1）/f（x）=f（x）*f（1）/f（x）=2
所以原式=2*2008=4016
（注：做这种题目如果能够找到一个具有如题目所述的性质的函数厅族，有助于思考，例如这题f（x）=2^x（2的x次方）即满足所有的性质。
这题f（x）作为除数，不可能为0
证明如下：
f（1）=f（1+0）=f（1）*f（0）=2*f（0）
所以f（0）=1
假设存在这样的x，使f（x）=0
那么f（0）=f（x-x）=f（x）*f（-x）=0*f（-x）=0与f（0）=1矛盾
故不存在x使得f（x）=0）

Answer 2

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