Question

数列证明题

怎么证明X1=1 X2=1+X1/(1+X1) .....Xn=1+X(n-1)/(1+X(n-1) 是递增数列

Answer 1

【数学归纳法】证明：（1）当n=2时，x1=1,x2=1+[x1/(1+x1)],===>x2-x1=x1/(1+x1)＞0,===>x1＜x2.x3-x2={1+[x2/(1+x2)]}-{1+[x1/(1+x1)]}=(x2-x1)/[(1+x1)(1+x2)]＞0.===>x2＜x3.(2)假设x(n-1)＜xn.由递推式x(i+1)=1+[xi/(1+xi)=2-[1/(1+xi)].可得x(n+1)-xn={2-[1/(1+xn)]}-{2-[1/(x(n-1)+1)]}=[1/(x(n-1)+1)]-[1/(xn+1)]=[xn-x(n-1)]/[(1+x(n-1))(1+xn)]＞0.===>xn＜x(n+1).∴数列{xn}是递增数列。

Answer 2

因为 x(n+1)=1+xn/(1+xn)=2-1/(1+xn)
xn =2-1/[1+x(n-1)]
注意到 y=2-1/(1+x)在（0，+∞）单调增加
所以 x(n+1)>xn <==> xn>x(n-1)
……，<==> x2>x1，而x2=1+x1/(1+x1)>1=x1是显然成立的
所以命题得证