Question

已知椭圆3X2+4Y2=12，过点P（0，2）的直线l交椭圆于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原

已知椭圆3X2+4Y2=12，过点P（0，2）的直线l交椭圆于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点。求MN的直线方程 步骤越详细越好谢谢

Answer 1

原题是:已知椭圆3x²+4y²=12，过点P(0,2)的直线l交椭圆于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点。求直线MN的方程.
由已知直线MN的斜率一定存在.设其方程是y=kx+2.
再设M(x1,kx1+2),N(x2,kx2+2)
因以MN为直径的圆经过原点
得OM⊥ON,x1·x2+(kx1+2)(kx2+2)=0
(k²+1)x1·x2+2k(x1+x2)+4=0 (1)
由3x²+4y²=12 且y=kx+2消去y并化简得
(4k²+3)x²+16kx-4=0
得 (4k²+3)(x1+x2)=-16k 且(4k²+3)(x1·x2)=-4
将其代入 (4k²+3)·(1)
(k²+1)(-4)+2k(-16k)+4(4k²+3)=0
k²=2/5
k=±2√5/5
所以直线MN的方程是y=(±2√5/5)x+2

希望能帮到你！

追问

连立方程那一步 常数项好像是正4

Answer 2

设M(x1,y1),N(x2,y2)
根据题意得∠MON=90°,∴OM→·ON→=x1x2+y1y2=0
l:y=kx+2,代入椭圆方程得
(3+4k²)x²+16kx+4=0
韦达定理得x1+x2=-16k/(3+4k²),x1x2=4/(3+4k²)
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k²x1x2+2k(x1+x2)+4
联立x1x2+y1y2=0解得k=±2√3/3
∴y=±2√3/3*x+2