Question

一道高一数学题 主要是第二问不太懂

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1，x∈[-1,1]
（1）若t＞0，球f（x）的最小值h（t）
（2）对于（1）中的h（t），若t∈（1,2]是，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=t(x+t)^2-t^3+t-1,
所以h(t)=-t^3+t-1
（2）h（t）＜-2t+m²+4m恒成立得到-t^3+3t-1<m²+4m.
根据图像可知-t^3+3t-1在t∈（1,2]时是减函数，证明如下：
设g(t)= -t^3+3t-1
任取t1<t2,t1,t2∈（1,2].
得到g(t1)-g(t2)=-(t1-t2)(t1^2+t2^2+t1t2-3).
由于t1,t2∈（1,2],所以t1^2+t2^2+t1t2-3>0，
所以g(t1)-g(t2)>0.
由任意性知道g(t)是减函数，当t∈（1,2].

由此求得t=1时-t^3+3t-1为1，所以t∈（1,2]时-t^3+3t-1<1。
所以要且只要m²+4m≥1恒成立（注意等号也可以的），则h（t）＜-2t+m²+4m恒成立。
解此不等式得到m范围为(-∝,-2-√5]，[-2+√5,+∝)