Question

设函数f(x)在区间［0,1］上连续，在区间（0，1）内可导，且有f(1）=0。证明：至少存在一点

设函数f(x)在区间［0,1］上连续，在区间（0，1）内可导，且有f(1）=0。证明：至少存在一点a属于（0，1），使得f(a)+af＇（a）＝0

Answer 1

设F(x)=xf(x)
因为 f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导
得F(x)在在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导
且F'(x)=f(x)+xf'(x)
又f(1)=0 ,得F(0)=F(1)=0
根据罗尔定理得
存在a∈(0,1),使F'(a)=(a)+af'(a)=0
所以存在a∈(0,1),使f(a)+af'(a)=0

希望能帮到你！