Question

请教一道大学高等代数题 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，且AB=0，证明rank(A)+

请教一道大学高等代数题 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，且AB=0，证明rank(A)+rank(B)=n

Answer 1

优质解答
B=0时显然,现设B≠0
B按列分块B=（β1,β2,...βs）,则β1,β2,...βs中至少有一个是非零向量.
由AB=A（β1,β2,...βs）=（Aβ1,Aβ2,...Aβs）=0
得Aβj=θ （j=1,2,...,s）
所以B的每个列向量都是齐次线性方程组AX=θ的解向量.
说明AX=θ有非零解,从而有基础解析η1,η2,...,ηn-r,其中R（A）=r.
而B的列向量都可由η1,η2,...,ηn-r线性表示,所以
R（B）≤R（η1,η2,...,ηn-r）=n-R（A）
所以r（A）+r(B)