Question

已知函数f(x)=2x/(x^2+1),g(x)=ax^3/3-a^2x(a≠0)

对于任意x1∈[0,3],总存在x2∈[0,3],使f(x1)=g(x2)/6成立,求实数a的取值范围

Answer 1

先求出f(x)在[0,3]上的取值范围
x=0时，f(x)=0
x>0时，f(x)>0且可以化为f(x)=2/(x+1/x)，根据基本不等式，f(x)在x=1/x时取得最大值1
所以f(x)在[0,3]上的取值范围是[0,1]
题意就是要让g(x)在[0,3]上的取值范围包含[0,6]
当a<0时，g(x)在[0,3]上小于等于0，不满足要求。
当a>0时，g(x)=ax(x^2/3-a)，所以在[0,√(3a)]上小于等于0，在[√(3a)，+∞)上大于等于0且单调递增。
所以要让取值范围包含[0,6]，必须让[0,3]跟[√(3a)，+∞)有交集。
而此时g(x)在[0,3]上的最大值在x=3处取得，
所以必须有√(3a)≤3,且g(3)≥ 6.
即a≤3，且3a(3-a)≥ 6.
解得1≤a≤2