Question

一道关于极限的题目，请求解答！！！！

0<=a<b ,x1=a,y1=b,xn=(xn-1+yn-1)/2 ,yn=(xn-1*yn-1)^1/2,求证{xn},{yn}的极限存在且相等

Answer 1

0 ≤ xn ; 0≤yn
由平均值不等式： √ab ≤（a+b)/2 （等号仅在 a=b 时成立）
y2 ≤ x2
(xn-1*yn-1)^1/2 = yn ≤ xn = (xn-1+yn-1)/2 (n≥2)

y2 ≤yn-1=(yn-1*yn-1)^1/2
≤(xn-1*yn-1)^1/2 = yn ≤ xn = (xn-1+yn-1)/2
≤ (xn-1+xn-1)/2
≤ xn-1 ≤ x2

∴ xn ，yn 为单调有界数列，故xn ，yn 收敛。 设：
lim(n->∞) xn = c
lim(n->∞) yn = d
c=lim(n->∞) xn =lim(n->∞) (xn-1+yn-1)/2 =（c+d）/2
∴ c = d

=(xn-1+yn-1)/2a=x1 < y1=b