Question

不等式证明

对于x,y,z属于(0,1)有xy+yz+xz=1
证明8x^2y^2z^2>=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)
cosAcosBcosC=[s^2-(r+2)^2]/4,

和cos2Acos2Bcos2C=[s^4-s^2*(6r^2+8r+4)+(r^2+4r+2)^2]/4,
这是怎么得到的
？

Answer 1

设x=cotA,y=cotB,z=cotC,其中A,B,C是△ABC的三个内角，A,B,C∈（45°，90°）。
原不等式化为
8（cosAcosBcosC)^2>=-cos2Acos2Bcos2C,①
设△ABC的外接圆、内切圆半径、半周长分别为1、r、s,我们有恒等式
cosAcosBcosC=[s^2-(r+2)^2]/4,
cos2Acos2Bcos2C=[s^4-s^2*(6r^2+8r+4)+(r^2+4r+2)^2]/4,
代入①，化简得
3s^4-s^2*(10r^2+24r+8)+3r^4+24r^3+68r^2+80r+36>=0,②
△ABC是锐角三角形，
∴s>2+r,0<r<=1/2,
②左是s^2的二次函数，
（10r^2+24r+8)/6<(2+r)^2,
∴②左>3(2+r)^4-(2+r)^2*(10r^2+24r+8)+3r^4+24r^3+68r^2+80r+36
=52-24r-4r^2-16r^3-4r^4>0,
∴②式成立，①式成立，原式成立。