Question

已知三角形ABC中， 分别以AB，AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG

已知三角形ABC中， 分别以AB，AC为边向三角形ABC 的形外作正方形ABDE和正方形ACFG, 连接DF, 过DF的中点M作MN垂直BC于点N, 求证【1】点N是BC 的中点。【2】MN等于BC的二分之一

Answer 1

如图。设AB＝a（向量），， BD＝a', AC＝b, CF＝b'.

BC＝b-a.设BN＝tBC＝t（b-a）.FD＝FC+CB+BD＝-b'+a-b+a'

MD＝FD/2＝-b'/2+a/2-b/2+a'/2. 

MN＝MD+DB+BN＝-b'/2+a/2-b/2+a'/2-a'+t（b-a）

＝（1/2-t）a-（1/2-t）b-a'/2-b'/2

MN⊥BC:[（1/2-t）a-（1/2-t）b-a'/2-b'/2]·（b-a）＝0

展开，化简，注意a'·b＝b'·a（上图，夹角相等），得到：

（1/2-t）2a·b-（1/2-t）（a²+b²）＝（1/2-t）（a-b）²＝（1/2-t）CB²＝0

t＝1/2,N是BC中点[【1】成立]

【2】  MN＝-a'/2-b'/2,注意a'·b'＝-a·b[夹角互补]

MN²＝[a'²+2a'·b'+b'²]/4＝（a²-2ab+b²）/4＝[BC/2]²,MN＝BC/2.