Question

微积分基本公式是如何推导出的？

例如以E为底，X的对数的微分是1|X。为什么？如何推？

Answer 1

导数有定义：lim[f(x+h)-f(x)]/h在h趋于0时的极限，任何导数都可以这样算出来，比如sinx导数
(sin(x+h)-sinx)/h=(sinxcosh+cosxsinh-sinx)/h=sinx(coxh-1)/h+cosxsinh/h
现在求h趋于0的极限由于1-cosx~x^2/2（等阶无穷小代换）所以sinx(cosh-1)/h的极限为0；而sinh/h极限等于1,就求出了sinx的导数是cosx
就是这么计算的。至于积分运算，由于积分的定义没有给出运算法则，所以只有根据导数规则来制定积分基本公式。

Answer 2

顺手写一个土法证明，解x,即y=ln(x)推得x=e^(y),两边对X求导，1=e^(y)*dy/dx,推得：dy/dx=1/e^(y),代入y,dy/dx=1/e^(ln(x)),得到：dy/dx=1/x,，没什么性质不性质吧，ln(x)函数的斜率是1/x.

Answer 3

有道理……