Question

如何用无界区域上的二重积分计算图中的广义积分

Answer 1

　　解：分享一种解法。(1)，∵e^[-(2x+1)^2+4]=[e^(-4)]e^[-(2x+1)^2]，设2x+1=y，
　　∴原式=[(1/2)e^(-4)]∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy。再设I=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy，
　　∴I^2=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy∫(-∞,∞)e^(-x^2)dx=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy。利用极坐标变换，设x=rcosα，y=rsinα，则D={(r,α)丨0≤r≤∞，0≤α≤2π}，
　　∴I^2=∫(0,2π)dα∫(0,∞)[e^(-r^2)]rdr=(1/2)∫(0,2π)dα=π。∴原式=√π/(2e^4)。
　　(2)，∵xe^(-x^2)在积分区间是奇函数，其积分为0。∴I=原式=∫(-∞,∞)(x^2+1)e^(-x^2)dx。同(1)题一样用极坐标变换，有
　　I^2=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)(x^2+1)(y^2+1)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy=(-1/2)∫(0,2π)dα∫(0,∞)[(sinαcosα)^2r^4+r^2+1]d[e^(-r^2)]。用分部积分法，I^2=9π/4，
　　∴原式=(3/2)√π。供参考。