如何用无界区域上的二重积分计算图中的广义积分 30
1个回答
展开全部
解：分享一种解法。(1)，∵e^[-(2x+1)^2+4]=[e^(-4)]e^[-(2x+1)^2]，设2x+1=y，
∴原式=[(1/2)e^(-4)]∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy。再设I=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy，
∴I^2=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy∫(-∞,∞)e^(-x^2)dx=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy。利用极坐标变换，设x=rcosα，y=rsinα，则D={(r,α)丨0≤r≤∞，0≤α≤2π}，
∴I^2=∫(0,2π)dα∫(0,∞)[e^(-r^2)]rdr=(1/2)∫(0,2π)dα=π。∴原式=√π/(2e^4)。
(2)，∵xe^(-x^2)在积分区间是奇函数，其积分为0。∴I=原式=∫(-∞,∞)(x^2+1)e^(-x^2)dx。同(1)题一样用极坐标变换，有
I^2=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)(x^2+1)(y^2+1)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy=(-1/2)∫(0,2π)dα∫(0,∞)[(sinαcosα)^2r^4+r^2+1]d[e^(-r^2)]。用分部积分法，I^2=9π/4，
∴原式=(3/2)√π。供参考。
∴原式=[(1/2)e^(-4)]∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy。再设I=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy，
∴I^2=∫(-∞,∞)e^(-y^2)dy∫(-∞,∞)e^(-x^2)dx=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy。利用极坐标变换，设x=rcosα，y=rsinα，则D={(r,α)丨0≤r≤∞，0≤α≤2π}，
∴I^2=∫(0,2π)dα∫(0,∞)[e^(-r^2)]rdr=(1/2)∫(0,2π)dα=π。∴原式=√π/(2e^4)。
(2)，∵xe^(-x^2)在积分区间是奇函数，其积分为0。∴I=原式=∫(-∞,∞)(x^2+1)e^(-x^2)dx。同(1)题一样用极坐标变换，有
I^2=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)(x^2+1)(y^2+1)e^[(-(x^2+y^2)]dxdy=(-1/2)∫(0,2π)dα∫(0,∞)[(sinαcosα)^2r^4+r^2+1]d[e^(-r^2)]。用分部积分法，I^2=9π/4，
∴原式=(3/2)√π。供参考。
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
盖雅工场，全流程劳动力管理系统
2023-07-25 广告
盖雅工场（gaiaworks.cn）智能排班云：通过高效、集成的解决方案提高责任心和工作效率，帮助企业总部与各分公司之间的沟通更便捷把正确的人放在合适的岗位上，优化劳动力效率，提高员工满意度。劳动力管理有效降低企业0.5%-3%的用工成本。...
点击进入详情页
本回答由盖雅工场，全流程劳动力管理系统提供
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
