Question

为什么隐函数中对于y（指的是要求的函数）的偏导数不能等于零

Answer 1

楼上网友老师，对导数概念没有理解，解答是完全风马牛不相及。

楼主的问题解答如下。

1、楼主所说的隐函数 implicit function，一定是一个定义隐函数的方程 equation；

2、这个方程中的 y，可能能够解出来，也可能根本不能解出来；

3、无论解得出来，还是能解出来但是不想解，都可以运用链式求导法则 chain rule 对 x 求导；

4、在对 x 求导时，是偏导数 partial differentiation；

5、由于 y 是 x 的隐函数，也就是 y 是 x 的复合函数 composite function，整个方程对 x 求导时，就必须先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数；

6、对 y 的求导，也是偏导数；y 对 x 的导数是全导数 total differentiation，在这里就是dy/dx，也就是国内千篇一律的 y'；

7、由于 y 是 x 的隐函数、复合函数，方程是对 x 求导，所以必须使用链式求导法则，对 y 的偏导数不等于 0，而等于 1，这里的 1 是 y 对 y 的导数等于 1；

8、关键的关键是：
x 是独立变量 independent variable；
y 不是独立变量，而是因变量 dependent variable，
只有在 y 是独立变量时，y 对 x 的导数才是偏导，才是 0。

y 是 x 的函数时，可以有两种理解，意义是一样的：
一是 y 直接对 x 求导，也就是 dy/dx = y'；
二是 y 对 y 的导数乘以 y 对 x 的导数，也就是 1 乘以 y'。

如有疑问，欢迎追问，有问必答，一答到底。

Answer 2

因为它处于分母位置而零作分母无意义所以限止它不能为零

Answer 3

F(x,y) = 0，这样的隐函数相当于曲面F（x，y）和 平面Z = 0相交形成的一条线s，当F对y的偏导不为0时，要不F沿着y轴严格单调增或者单调减，这样可以借着介值性定理形成z= 0平面上的一条线f(x)。而对于线f(x)，要证明f(x)的连续性，需要将y作为x的因变量来证明f(x)的连续性。因此我们就说，F对y的偏导不为0，则可以将y作为x的因变量，如果F对x的偏导不为0，也可以将x作为y的因变量。简单来说，Fx，Fy,不能都为0，哪一个不为0，哪一个作为因变量。证明参考《数学分析》华东师范大学出版的，隐函数存在唯一性定理。