Question

从地面某高度处以初速度v0平抛一物体，已知物体落地时的速度方向与竖直方向的夹角为θ．求落地时的高度

Answer 1

郭敦荣回答：

图中物体落地时的速度方向与竖直方向的夹角θ，画错地方了，所画为速度方向与水平方向的夹角，而不是与竖直方向的夹角。

该物体运动的轨迹为抛物线，其顶点在某高度的平抛处O，所谓物体落地时的速度方向是由抛物线在落地点切线的方向表达的。

设该物体在P1点的坐标为P1（x1， y1，），y1即为落地时的高度。

过这点P1的切线为向量l，向量l与竖直方向的夹角为θ，且落地时的时间为t秒，并且用点P1的对称点P2（x2，y2），进行计算，则

x 2=v0t      （1）

y2 =（1/2）gt²    （2）

切线l交X轴于A，切线l交Y轴于B，切线l即BP所在的直线，

令BP=ρ1，AP=ρ2，作PC⊥X轴于C，则PC=y，

Rt⊿PAC∽Rt⊿BAO，

BO/y=OA/ AC，BO= yOA/ AC，

AC=y /tanθ，

OA=OC－AC= x－y /tanθ

BO= yOA/ AC=（x－y /tanθ）/ tanθ

切线AP的斜率k=tan（π/2－θ），

点A的坐标为A（x2－y2 /tanθ，0），

切线AP的点斜式直线方程为：

y= tan（π/2－θ）x－tan（π/2－θ）（x2－y2 /tanθ），

将x 2=v0t与y2 =（1/2）gt²代入上方程得，

（1/2）gt²

= tan（π/2－θ）v0t－tan（π/2－θ）（v0t－（1/2）gt²/tanθ）

解上方程（详解略），求得t值（表达式），代入y2 =（1/2）gt²即求得落地时的高度，

y2=| y1|，表示落地时高度的绝对值。

 

Answer 2

设落地时垂直速度V1
V1/V0 = tanθ
且V1² = 2gh
结合这两个式子，可求