无穷级数问题

书上写"即当|r|<1时,∑(上无穷,下n=0)anx^n收敛;当|r|>=1时,∑(上无穷,下n=0)anx^n发散"这是怎么回事?... 书上写"即当|r|<1时,∑(上无穷,下n=0)an x^n 收敛;当|r|>=1时,∑(上无穷,下n=0)an x^n 发散" 这是怎么回事? 展开
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百度网友8d8acae
2010-09-25 · TA获得超过6503个赞
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有大前提:
ρ=lim | a(n+1)/an | = 1 ,或
ρ=lim |an|^(1/n) = 1
r=1/ρ =1

从而,对:∑ anx^n 【对给定的x,直接考虑成为一数项级数】
有:|x| < 1 时:
lim | a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | = lim | a(n+1)/an |*|x| = |x| < 1
由正项级数 比值判别法收敛;
∴∑ anx^n 绝对收敛,故收敛;

有:|x| > 1 时:
lim | a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | = lim | a(n+1)/an |*|x| = |x| > 1
从而,由极限保序性: 当n>N 时:
| a(n+1)x^(n+1)/(anx^n) | > 1
| a(n+1)x^(n+1)| > |(anx^n) | ≥ 0
∑ anx^n 通项不趋于 0 ,故级数必发散。
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