Question

拉格朗日乘数法的基本信息

Answer 1

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 ，其中λ为参数。
令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，，即
F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
F'λ=φ(x,y)=0
由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。 以三元函数为例，即求目标函数：u=f(x,y,z) 在限制条件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的极值。
假定f,G,H,具有连续的偏导数,且Jacobi矩阵:
J=(
Gx Gy Gz ) 注释：这里表示的是2x3的矩阵,Hx Gx分别表示H,G对x求偏导.
在满足约束条件的点处是 行满秩 即Rank(J)=2
先考虑取到条件极值的必要条件.上述约束条件实际是空间曲线的方程.设曲线上一点( , , ) 为条件极值点，由于在该点处rank(J)=0，不妨假设在( , , )点处 ,则由隐函数存在定理，在点（ , , )附近由该方程可以唯一的确定 y=y(x),z=z(x), 其中 =y( ), =z( ).它是这个曲线方程的参数形式.
将它们带入目标函数，原问题就转化为函数:

的无条件极值问题， 是函数 （x）的极值点，因此有 '（x）=0
也就是
这说明向量
gradf( , , )与向量 正交，即与曲线在点( , , )的切向量正交，因此这点的梯度grad f(,,)可以看做是曲线在点 ( , , ) 处的法平面上的向量，在根据平面上任意一个向量都可以有一对不共线的向量线性表示，又由于这个法平面是由grad G(x0,y0,z0)与gradH( , , )张成的，因此，存在常数a,b使得 gradf( , , )=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0).
这就是点(,,）为条件极值点的必要条件。
将上述方程写成分量的形式，就可以得到。 求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值
方法（步骤）是：
1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数
2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)
如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值 可求.
条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.
条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m
则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m
g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)
在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz
焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy
这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件
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限制下，求函数F的极值
条件极值与无条件极值的区别
条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
必要条件
设在约束条件之下求函数的极值。满足约束条件的点 是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程定隐函数 , 于是点就是一元函数的极限点, 有
代入 , 就有
( 以下 均表示相应偏导数在点 的值 . )
Lagrange乘数法 :
由上述讨论可见 , 函数 在约束条件之下的条件极值点应是方程组
的解.
引进所谓Lagrange函数
( 称其中的实数 为Lagrange乘数 )
则上述方程组即为方程组
因此，解决条件极值通常有两种方法
1）直接的方法是从方程组（1）中解出 并将其表示为 代入 消去 成为变量为 的函数将问题化为函数无条件极值问题；
2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
3）在给定的条件下，若是可以将未知数代换或是解出，则可以将条件极值转化为无条件极值，从而避免引入拉格朗日乘数的麻烦。
注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的点不会被该方法计算到，因此，若求最大值或最小值时，应把这些点列出来并单独计算。