Question

基本不等式难题 a^2+2b^2=6,求a+b的最小值

Answer 1

用判别式法:
设a+b＝t，则a＝t-b...............[1]
代入条件得：(t-b)^2+2b^2=6,
3b^2-2tb+(t^2-6)=0...............[2]
∵b是实数，∴判别式Δ≥0,
即4t^2-12(t^2-6)≥0,
化简得：t^2≤9，
∴-3≤t≤3.
当t＝-3时，由[2]得b=-1,代入[1]得a=-2.
所以a+b的最小值是-3(当a=-2,b=-1时取到）.

解法2：三角换元法
a^2+2b^2=6→(a^2)/6+(b^2)/3＝1，
设a=(根6)cosx,b=(根3)sinx，这里x∈R.
a+b=(根3)sinx+(根6)cosx
=根号下[(根3)^2+(根6)^2]sin(x+θ)..........[1]
=3sin(x+θ)，(其中θ是辅助角)
而sin(x+θ)的最小值是-1，
所以a+b的最小值是-3.

说明：[1]式用到公式：asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+θ)，
其中“辅助角θ”满足条件“tanθ=b/a”,而辅助角θ的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.

Answer 2

见图

Answer 3

a^2+2b^2=6,所以
设a=√6cosα,b=√3sinα
a+b=√6cosα+√3sinα
=√(6+3)sin(α+φ) (tanφ=√3/√6=1/2)
=3sin(α+φ) (tanφ=√3/√6=1/2)
≥-3
a+b的最小值: -3