证明:设f(x)是整系数多项式,如果f(0)f(1)f(2)都不被3整除,则f(x)没有整数根
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反证法吧。
若f(x)有整数根,设为p,且设f(x)的次数为m,
则(x-p)是它的一个因式(不管是几重因式),
则f(x)=(x-p)[a(m-1)·x^(m-1)+a(n-2)·x^(m-2)+……+a(1)·x+a(0)]
(上面的式子中,a(i)表示下标)
于是,
f(0)=-p·a(0)
f(1)=(1-p)[[a(n-1)+a(n-2)+……+a(1)+a(0)]
f(2)=(2-p)[[a(m-1)·2^(m-1)+a(n-2)·2^(m-2)+……+a(1)·2+a(0)]
而f(0)、f(1)、f(2)都不能被3整除,
则p≡1或2(mod 3)、a(0)≡1或2(mod 3)
无论p≡1或2(mod 3),均有,
1-p≡0(mod 3)或2-p≡0(mod 3),
此时必有f(1)≡0(mod 3)或f(2)≡0(mod 3),
与f(1)、f(2)都不能被3整除矛盾。
因而,f(x)无法有整数根存在。
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【经济数学团队为你解答!】欢迎追问。
若f(x)有整数根,设为p,且设f(x)的次数为m,
则(x-p)是它的一个因式(不管是几重因式),
则f(x)=(x-p)[a(m-1)·x^(m-1)+a(n-2)·x^(m-2)+……+a(1)·x+a(0)]
(上面的式子中,a(i)表示下标)
于是,
f(0)=-p·a(0)
f(1)=(1-p)[[a(n-1)+a(n-2)+……+a(1)+a(0)]
f(2)=(2-p)[[a(m-1)·2^(m-1)+a(n-2)·2^(m-2)+……+a(1)·2+a(0)]
而f(0)、f(1)、f(2)都不能被3整除,
则p≡1或2(mod 3)、a(0)≡1或2(mod 3)
无论p≡1或2(mod 3),均有,
1-p≡0(mod 3)或2-p≡0(mod 3),
此时必有f(1)≡0(mod 3)或f(2)≡0(mod 3),
与f(1)、f(2)都不能被3整除矛盾。
因而,f(x)无法有整数根存在。
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