Question

请问一下高等数学这两个积分怎么积？谢谢！能写在纸上吗？

Answer 1

已经知道 不定积分 ∫e^xdx/x 不是初等函数，即“积不出来”。
(1) 令 u = x+1, 则 x = u-1, dx = du
∫e^xdx/(x+1) = e^(u-1)du/u = (1/e) ∫e^udu/xu ，
也是 “积不出来” 的。
(2) ∫e^xdx/(x+1)^2 = -∫e^xd[1/(x+1)]
= -e^x/(x+1) + ∫e^xdx/(x+1)
还是 “积不出来” 的。

追问

那请问一下高等数学中除了这个还有那些也积分不出来？

追答

函数 e^(x^2), e^(-x^2), sinx/x, cosx/x, sinx/x^n, cosx/x^n，
sin(x^2), cos(x^2), e^x/x, 1/lnx, √sinx, √cosx,
√(1+x^3), 1/√(1+x^4), 1/√[1-(ksinx)^2] 等原函数都不是初等函数。

追问

老师只和我们讲了这个，不知道e^x/x也没有原函数，也不知道他为什么不讲其他的？好像其他问题碰不到似的，可以把刚才的那些函数写在纸上么？看的不是很清楚！

谢谢！

追答

不是“没有原函数”， 而是原函数不是初等函数。
你写的4个原函数不是初等函数的表达式，已包括在我写的那些之中了。
例如 ∫sin(1/x)dx . 令 1/x = u, 则 x = 1/u, dx = -du/u^2,
∫sin(1/x)dx = -∫sinudu/u^2 , 已包含在 sinx/x^n 的原函数不是初等函数之中。
后面两个可用换元之后，再用分部积分。
∫x^3e^(x^2)dx = (1/2)∫x^2e^(x^2)d(x^2) = (1/2)∫ue^udu
= (1/2)∫ude^u = (1/2)ue^u - (1/2)∫e^udu = (1/2)(u+1)e^u + C = ......
∫[e^(1/x)/x^2]dx = -∫[e^(1/x)]d(1/x) = - e^(1/x) + C

追问

亲，可以帮忙写在纸上么？立马给好评！另外这些函数都要背不？

追答

追问

谢谢！

大神！我可以私信你不？

还想问个问题！

这个怎么积？

Answer 2

这题也太难了吧

追答

会了了吗

Answer 3