Question

考研数学§的证明题

Answer 1

显然，f(x)在[0，2]上连续，
所以，有最大值和最小值，
设 f(x)在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，
则m≤f(0)≤M，
m≤f(1)≤M
m≤f(2)≤M
∴3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M
∴ m≤1≤M
根据介值定理的推论，
存在a∈[0，2]，使f(a)=1，

f(x)在[a，3]上连续，(a，3)内可导，
f(a)=f(3)=1
根据罗尔定理，
存在ξ∈(a，3) 【自然，ξ∈(0，3) 】
使得，f '(ξ)=0