Question

4题第一问，求解

Answer 1

4（1）系数矩阵行列式 |A| =
|a 1 1|
|1 b 1|
|1 2b 1|
|A| =
|a 1 1|
|1 b 1|
|0 b 0|
|A| = -b(a-1)
当 b ≠ 0，且 a ≠ 1 时，|A| ≠ 0，方程组有唯一解。
当 b = 0，增广矩阵 (A, β) =
[a 1 1 4]
[1 0 1 3]
[1 0 1 4]
初等行变换为
[a 1 1 4]
[1 0 1 3]
[0 0 0 1]
r(A, β) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。
当 a = 1，增广矩阵 (A, β) =
[1 1 1 4]
[1 b 1 3]
[1 2b 1 4]
初等行变换为
[1 1 1 4]
[0 b-1 0 -1]
[0 2b-1 0 0]
初等行变换为
[1 1 1 4]
[0 b-1 0 -1]
[0 2b-1 0 0]
当 b = 1 时，r(A, β) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。
当 b ≠ 1 时，初等行变换为
[1 1 1 4]
[0 1 0 -1/(b-1)]
[0 0 0 (2b-1)/(b-1)]
当 b = 1/2 时，r(A, β) = r(A) = 2, 方程组有无穷多解。
综合得：
当 a ≠ 1，且 b ≠ 0 时，方程组有唯一解；
当 a = 1， b = 1/2 时，方程组有无穷多解。