Question

高二数学在线等，帮个忙！

在双曲线25分之x²-9分之y²=1上求一点，使它到直线L：x-y-3=0的距离最短，并求这个最短距离

Answer 1

答案：（25/4，9/4）,d=1/2^0.5

求解：

令（a,b）为双曲线上一点，则根据点到直线的距离公式，有所求距离
d=|a-b-3|/2^0.5

(注：点（m,n）到直线Ax+by+c=0的距离为
d=|Am+bn+c|/(A^2+B^2)^0.5)

又（a,b）为双曲线上一点，知

b=±3*[1/25*a^2-1]^0.5,代入d的表达式，得

d=|a±3*[1/25*a^2-1]^0.5-3|/2^0.5

令k=a±3*[1/25*a^2-1]^0.5-3,则d=|k|/2^0.5

原问题转化为求k的最大绝对值，只需求极值点和定义域端点的值。

【求极值点】

k对a求导，得k0=1±3/2*1/[1/25*x^2-1]^0.5*2/25*x，令k=0,化简得

1=±3/25*1/[1/25*x^2-1]^0.5*x，两边平方化简得

1=225/625*x^2/(x^2-25),化简求解得x=±25/4。

将x=±25/4代入b=±3*[1/25*a^2-1]^0.5得4点

（25/4，9/4）,d=1/2^0.5
（-25/4，9/4）,d=11.61/2^0.5
（25/4，-9/4）,d=5.6/2^0.5
（-25/4，-9/4）,d=7/2^0.5

其中d=|a-b-3]/2^0.5]

在加上端点(±5,0),d=2/2^0.5或8/2^0.5

易知，最短为（25/4，9/4）,d=1/2^0.5

多给点分吧，这么多

Answer 2

你可以先写出来这条直线的垂线吧?然后求 该条垂线与双曲线的交点