Question

为什么幂级数有收敛半径，为什么收敛域关于某点对称

Answer 1

要解决这个问题，我们要从最原始的情况——数项级数乃至数列讲起。幂级数作为函数项级数的一类，相当于数项级数的“升级版”，也就是说，级数的每一项都会随着x的变化而变化，且每一项都是关于x的幂函数。

下面我们回过头来想一下，一个数项级数的收敛条件是什么，也就是说，级数

收敛，意味着什么。回顾级数收敛的定义，就可以知道，级数收敛意味着它的部分和序列

存在有限的极限值，所以级数收敛还是会归到数列的求和问题。

因为数列求和本身是一个比较困难的问题，对于不同的数列很难直接求出它们的求和公式，因此直接判断一个级数的收敛性是有困难的。除了几何级数（等比数列）、可以裂项的数列以外，其他数列的求和公式往往都不可得。除了通过直接求和的方法来判断收敛性以外，我们还可以通过比较的方法，就是拿一个级数跟我们熟悉的级数、数列、积分来进行比较，例如比值法和根式法（与几何级数作）、p-级数（与定积分作比较）等等，进一步得出其他级数的收敛判据。上面提到的有一种比较重要的判别法，就是比值判别法：

上图参考资料：

http://wenku.baidu.com/view/aa9b7d9c2b160b4e777fcf93.html?from=search

完整、详细的证明过程可以看教材。

下面就到幂级数的问题了。（当然这里跳过了对函数项级数的介绍，相信你们的教材是有这部分内容的）

形如

的函数项级数称为幂级数。

上面有关比值判别法的图中，讨论的对象是正项级数，其实把这个条件去掉也是成立的，但是取极限之前应该对比值取绝对值。如果对这个过程有疑问可以进一步追问。

下面通过比值判别法来确定上图中幂级数的收敛范围。

设

你没有看错，这里是前一项与后一项的比值，和上面的图不一样。为什么要这样书写呢？因为这个比值和所谓的“收敛半径”有直接的关系。

当然为了方便起见，我们这里假设极限

是存在的。如果不存在怎么办？不存在就把极限符号换成上极限符号，上极限是必定存在的，大不了就取∞。这是更加复杂的情况，我们这里不作讨论。

既然这个极限存在，我们设这个极限为R。

那么，要使得级数收敛，应有ρ<1，即R/|x-a|>1即

R>|x-a|或者写作a-R<x<a+R。

同样的道理，如果ρ>1，那么级数发散，对应地就有|x-a|>R。

因此R的实际意义就是幂级数的收敛半径。

那么幂级数的收敛域是不是关于a点对称呢？如果不考虑端点的话，根据上面的结论，当然是成立的。但是实际上，幂级数在两个端点不一定都收敛或者都发散，可能在一个端点收敛，但在另一个端点发散，典型的例子就是ln(1+x)的泰勒级数，在x=-1处发散，在x=1处收敛。因此，“幂级数的收敛域关于某点对称”是不一定成立的，具体情况要结合该点处的情况进行讨论。