Question

已知函数F(X)满足,对任意实数X都有,F(1+x)

已知函数F(X)满足,对任意实数X都有,F(1+x)=F（1-X），F（3+X）=F（3-X）。
（1）求证：F（x）=F（2-X）
（2）求证：F（X+4）=F(X)
（3）若当X属于[-2，0]时，F（X）=X²+2X，求X属于[6,8]时，F（X）的解析式

Answer 1

1、
令a=1+x,则1-x=2-a
所以f(1+x)=f(1-x)则f(a)=f(2-a)
f(x)=f(2-x)

2、
f(x+3)=f(3-x)
所以f(x+4)=f[(x+1)+3]
=f(3-(x+1)]
=f(2-x)
=f(x)

3、
f(x+4)=f(x)
f(x+8)=f[(x+4)+4]
=f(x+4)
=f(x)
所以6<=x<=8则-2<=x-8<=0
所以f(x-8)=(x-8)²+2(x-8)=x²-14x+48
f(x-8)=f(x)
所以f(x)=x²-14x+48

Answer 2

(1)对F(1+x)=F（1-X），令X = X - 1 ,则得

F（x）= F[1 + (X - 1)] = F[1-(X-1)] = F（2-X）

即：F（x）=F（2-X）

(2)对F（3+X）=F（3-X）,令X = X +1,得

F（X+4）= F[3+(X+1)] = F[3-(X+1)]= F（2-X）

前面已证:F（x）=F（2-X）

所以,F（X+4）=F(X)

(3)前面已证F（X+4）=F(X)

所以,F（X+8）=F(X+4)=F(X)

当X属于[-2，0]时，F（X）=X²+2X，而此时X+8属于[6，8]

所以,X属于[6,8]时，F（X）的解析式 : F（X）=X²+2X