Question

在正三角形ABC中,D,E,F分别是,BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于

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Answer 1

此题要先证明：△ABC∽△EFD
证明：
∵△ABC是正三角形
∴∠A=60°
又EF⊥AB
∴∠AEF=90°-60°=30°
又DE⊥AC
∴∠DEF=180°-∠DEC-∠AEF=180°-90°-30°=60°
同理可证：∠EFD=60°，∠EDF=60°
∴△DEF为正三角形
∴△EFD∽△ABC
又RT△AEF中，EF=√3AE/2，AE=2EF/√3
RT△CDE中，DE=√3CE，CE=DE/√3
又DE=EF
∴AC=AE+CE=2EF/√3 +DE/√3=2EF/√3 +EF/√3=√3EF
∴EF=√3AC/3
∴S△EFD/S△ABC=(EF/AC)²=（√3/3）²=1/3
∴△EFD的面积和△ABC的面积之比为1/3

Answer 2

△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1/4。