Question

函数f(x)=x^2+1/x(x≤-1/2)的值域是

函数f(x)=x^2+1/x(x≤-1/2)的值域是

Answer 1

f(x)=x²+1/x，x≤-1/2，
f′(x)=2x-1/x²=(2x³-1)/x²，
当x≤-1/2时，2x³-1<0，
∴f(x)在（－∞，－1/2]上为减函数，
∴f(x) ≥f(-1/2)= -7/4，
即所求函数的值域为[－7/4，＋∞）.

原题如果是：f(x)=(x²+1)/x，x≤-1/2，

f(x)=(x²+1)/x=x+(1/x)，
∵f(x)在（－∞，－1 ]上为增函数，在（-1，－1/2 ]上为减函数，
∴f(x) ≤f(-1)= -2，
函数值域为（－∞，－2 ].

Answer 2

令x1<x2≤-1/2

x1+x1<-1, x1x2>0, x1-x2<0

f（x1）-f（x2）=x1^2+1/x1-(x2^2+1/x2)

=(x1+x2)(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2>0

即f（x1）>f(x2)

所以当x≤-1/2时，是单调递减函数

所以x=-1/2时，取得最小值，f（x）min=f（-1/2）=-7/4

所以定义域内的值域为〔-7/4，+∞）