Question

垂直的两条直线的斜率为什么互为负倒数

Answer 1

设两条直线的斜率为k1,k2，倾斜角为a,b 如果两条直线垂直，那么它们之间的夹角为90度所以tan(a-b)=tan90=(tana-tanb)/(1+tanatanb)=无穷大因为tana=k1,tanb=k2 所以1+tanatanb=1+k1k2=0 因此k1k1=-1

Answer 2

解：由于两条平行直线斜率相同，可以将平面内任意两条垂直直线平移到原点处的两条相交直线。所以只对以原点为交点的两条相交直线进行证明：
设两条直线中的一条直线倾斜角为a，则另一条的倾斜角为a+90，这两直线的斜率分别为tana和tan(a+90)，其乘积等于tana×tan(a+90)=tana×(-cota)=-1。
所以垂直的两条直线的斜率互为负倒数。