Question

设x.y∈R＋，且xy-(x+y)=1,则

x+y≥？或x+y≤？或xy≤？
A.x+y>=2(根号2+1）
B。x+y<=根号2+1
C.x+y<=(根号2+1）²
D。xy>=2(根号2-1）

Answer 1

xy-(x+y)=1
xy-x-y=1
得y=（x+1）/(x-1)=1+2/(x-1)
x+y=x+(x+1）/(x-1)=(x-1)+2/(x-1)+2
因为x,y＞0最小值取到时（x-1）=2/(x-1)
既x=（√2）-1
x+y=2√2+2

x+y>=2(xy)^(1/2)
xy-(x+y)<=xy-2(xy)^(1/2)
则xy-2(xy)^(1/2)>=1
xy-2(xy)^(1/2)-1>=0
解得(xy)^(1/2)<=1-2^(1/2),(xy)^(1/2)>=1+2^(1/2)
又xy>0
xy>=(1+2^(1/2))^2=3+2*2^(1/2)

Answer 2

因为x，y>0

所以xy≤(x+y)^2/4

因为xy-(x+y)=1

所以1+(x+y)≤(x+y)^2/4

化简可得(x+y-2)^2≥8

所以x+y-2≥2√2或x+y-2≤-2√2

所以x+y≥2+2√2或≤2-2√2<0

因为x+y>0

所以x+y≥2+2√2

你也可以这么想：

因为x+y≥2√(xy)

xy-(x+y)=1

所以xy-1≥2√(xy)

化简的(√(xy)-1)^2≥2

同理可解得xy≥3+2√2

根据我的分析应该选A

Answer 3

由xy-(x+y)=1得
y=（1+x）/（x-1）
=1+2/（x-1）
所以x+y=x+1+2/（x-1）
令f（x）=x+1+2/（x-1）
求导得1-2/（x-1）² ，令其等于0
求得x=1+√2
所以当x=根号2+1时有最小值
即f（1+√2）=2+2√2
所以x+y≥2+2√2

Answer 4

x+y>=2根号下（xy）
代入xy=1+（x+y）得，
x+y>=2根号下[1+（x+y)]
(x+y)^2-4*（x+y)-4>=0
方程等于零时两根为：(4+根号下(4*4-4*1*(-4)))/2=2+2倍根号2
(4-根号下(4*4-4*1*(-4)))/2=2-2倍根号2
>=0时解为：x+y<=2-2倍根号2 或 x+y>=2+2倍根号2
又因x,y为正
所以 x+y>=2+2倍根号2