Question

数学题急急急急！！！！

在△ABC中,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a,b是关于x的一元二次方程x^2+4(c+2)=(c+4）x的两个根，点D在AB上，以BD为直径的圆O切AC于点E。
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若tanA=3/4时，求AE的长。

各位！帮忙把过程写上！

Answer 1

解：a,b是关于x的一元二次方程x^2-(c+4）x+4(c+2)=0的两个根，
∴a+b=c+4 (1) ab=4c+8 2ab=8c+16（2）
(1)两边平方得 a^2+b^2+2ab=c^2+8c+16 把（2）带入得a^2+b^2=c^2
∴∠C=90°∴tanA=a/b=3/4 令a=3k 则b=4k 由勾股定理得 c=5k
都带入（1）得 3k+4k=5k+4 ∴k=2 ∴a=6 b=8 c=10
连OE ,E为切点 ∴OE⊥AC ∴△AOE相似于△ABC ∴OE/BC=AO/AB
即OE/6=(AB-OB)/10 AB-OB =10-OE ∴OE=15/4 AO=25/4 ∴AE=5

Answer 2

利用一元二次方程根与系数的关系可知
a+b=c+4
a*b=4（c+2）
a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=c^2+16+8c-8c-16=c^2
得证

E是切点，所以OEA为直角，因1可知C为直角，tanA=3/4所以a/b=3/4
若设OE长为3x，则AE长为4x，OA长为5x，OA+OB为5x+3x=c
所以AE=1/2c