Question

求助，如何由泰勒公式推导出n阶导数

Answer 1

如果有了函数在某点的泰勒公式，则在该点的n阶导数与泰勒公式的系数的关系。

利用莱布尼茨公式做：记u(x) = x^2，v(x)= sinx，

则u'(x) =2x，u"(x) = 2，u(k)(x) = 0，k = 3, 4, … , n，

v(k)(x)= sin(x+kπ/2)，k = 1, 2, … , n，

于是，利用莱布尼茨公式，f 的 n 阶导数

f(n)(x) = Σ(k=0~n)C(n,k)*u(k)(x)*v(n-k)(x)

扩展资料：

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项，

另一类是定量的拉格朗日余项。

这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

参考资料来源：百度百科-泰勒公式

Answer 2

如果有了函数在某点的泰勒公式，则在该点的n阶导数与泰勒公式的系数的关系如下图所示。