Question

求根号下x(x-2)的不定积分

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

解答如下图片：

Answer 3

∫ √[x(x-2)] dx

x(x-2)
=x^2-2x
=(x-1)^2 -1

let
x-1= secu
dx = secu.tanu du

∫ √[x(x-2)] dx
= ∫ secu. (tanu)^2 du
= ∫ secu. [(secu)^2 -1 ] du
= ∫ [(secu)^3 -secu ] du
= ∫ (secu)^3 du - ln|secu + tanu|
=(1/2) [secu.tanu + ln|secu+tanu|] - ln|secu + tanu| +C
=(1/2) [secu.tanu - ln|secu+tanu|] +C
=(1/2) [(x-1).√[x(x-2)] - ln|x-1+√[x(x-2)] |] +C

consider
∫ (secu)^3 du
=∫ secu dtanu
=secu.tanu - ∫ secu. (tanu)^2 du
=secu.tanu - ∫ secu. [(secu)^2 -1] du
2∫ (secu)^3 du = secu.tanu + ∫ secu du
∫ (secu)^3 du = (1/2) [secu.tanu + ln|secu+tanu|] + C'