Question

-2,4，-8,16，-32，........中是否存在连续的三个数，使得三个数的和为768，若存在

（1）-2,4，-8,16，-32，........中是否存在连续的三个数，使得三个数的和为768，若存在求出这三个数，不存在说明理由。
（2）是否存在这么一列：使得其中的三个数的和为1282，若存在求出这三个数，不存在说明理由。
① 1，-2,4，-8,16，-32，........
② 2，-4,8，-16,32，-64，......
③ 4，-2,10,-14，34，-62，.....
（1）1，-2,4，-8,16，-32，........中是否存在连续的三个数，使得三个数的和为768，若存在求出这三个数，不存在说明理由。
（2）是否存在这么一列：使得其中的三个数的和为1282，若存在求出这三个数，不存在说明理由。

Answer 1

第一问，对于第一个数列
-2,4，-8,16，-32，........

通项公式为

a(n)=2^n*(-1)^n
连续三个数之和等于：
a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=2^n*(-1)^n+2^(n+1)*(-1)^(n+1)+2^(n+2)*(-1)^(n+2)
=（1-2+4)×2^n*(-1)^n
=3*2^n*(-1)^n

设存在一个n，满足3*2^n*(-1)^n=768
2^n*(-1)^n=256=2^8

在n=8时，有解
这三个数为
a(n)=2^8=256
a(n+1)=-256*2=-512
a(n+2)=512*2=1024

第二问，如果还是问是否连续三个数，

①数列，通项为a(n)=2^n*(-1)^n
由第一问可知：
a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=3*2^n*(-1)^n

②数列，通项为a(n)=2*[2^n*(-1)^n]
a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=3×2*2^n*(-1)^n
=6×2^n*(-1)^n

③数列，通项为a(n)=2*[2^n*(-1)^n]+2
a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=3×[2*2^n*(-1)^n+2]
=6×*2^n*(-1)^n+6

三个数列的连续三项和都能被3整除
而1282各位数字之和为13，不能被3整除。
所以，3个数列中，不存在连续三项和为1282的数列

Answer 2

（1）256，-512，1024
（2）不存在
因为数列1中，an= -1/2 (-2)^n an+a(n+1)+a(n+2)=3(-2)^(n-1)
是3的倍数，1282不可能是数列1中的连续3个数之和；
数列2中，an=-(-2)^n an+a(n+1)+a(n+2)=-3(-2)^n ,也是3的倍数，不可能；
数列3中，a1=4 ,a2=-2 ,an=2a(n-2) -a(n-1) ,
an+a(n+1)+a(n+2)=an+a(n+1)+2an-a(n+1)=3an,也是3的倍数，不可能。

Answer 3

-2,4，-8,16，-32，........

通项公式为

a(n)=2^n*(-1)^n

a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=2^n*(-1)^n+2^(n+1)*(-1)^(n+1)+2^(n+2)*(-1)^(n+2)
=2^n*(-1)^n[1-2+4)
=3*2^n*(-1)^n

1)
768=3*2^n*(-1)^n
256=2^n*(-1)^n
2^8=2^n*(-1)^n

n=8，有解
这三个数为
a(n)=2^8=256
a(n+1)=-256*2=-512
a(n+2)=512*2=1024

2)a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=3*2^n*(-1)^n
其和必然为3的倍数
而1282不是3的倍数（1+2+8+2=13)
事所以不存在这样的三个数字，使得其和为1282

Answer 4

2^n*(-1)^n+2^(n+1)*(-1)^(n+1)+2^(n+2)*(-1)^(n+2)
=2^n*(-1)^n[1-2+4)
=3*2^n*(-1)^n

1)
768=3*2^n*(-1)^n
256=2^n*(-1)^n
2^8=2^n*(-1)^n

n=8，有解
这三个数为
a(n)=2^8=256
a(n+1)=-256*2=-512
a(n+2)=512*2=1024

2)a(n)+a(n+1)+a(n+2)
=3*2^n*(-1)^n
其和必然为3的倍数
而1282不是3的倍数（1+2+8+2=13)
事所以不存在这样的三个数字，使得其和为1282

Answer 5

楼下的都错了，你第二题问的题目没有说 连续 对吧？