Question

已知函数f（x）对任意x，y属于R，满足条件f(x)+f(y)=2+f（x+y）且当x大于0时，f（x）大于2，f（3）=5

证明函数单调性
计算f（1）
解f(a^2-2a-2)小于3

Answer 1

(1)证明：
在定义域内任取x1，x2，且x1<x2
则f（x2）=f(x1+x2-x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-2
所以f（x2）-f(x1)=f(x2-x1)-2
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)>2
所以f(x2-x1)-2>0
即f（x2）-f(x1）>0
记得证函数为单调递增函数
(2)先令x=y=0，代入f(x)+f(y)=2+f（x+y）得
f（0）=2
再令x=1，y=1，代入得
2f(1）=2+f（2）……[1]
再令x=1，y=2，代入得
f（1）+f(2)=2+f(3)=7……[2]
[1][2]可解得f（1）=3
（3）即解f(a^2-2a-2)<f(1)
因为函数递增
所以只需a^2-2a-2<1
解得-1<a<3